素数公式
利用高斯符號
[
x
]
{\displaystyle [x]}
，可以建立一些第n个素数的表达式：
Mills公式
编辑
第一个带高斯函数的素数公式由W. H. Mills在1947年构造。他证明了存在实数A使得数列
[
A
3
n
]
{\displaystyle [A^{3^{n}}\;]}
中的每个数都是素数。最小的A称为米爾斯常數，如果黎曼猜想成立，它的值大約為：
A
≈
1.30637788386308069046
…
{\displaystyle A\approx 1.30637788386308069046\ldots }
（ A051021）。
这个素数公式并没有什么实际价值，因为人们对A的性质所知甚少，甚至不知道A是否為有理数。而且，除了用素数值逼近外，没有其他计算A的方法。
威尔逊定理的利用
编辑
使用威尔逊定理，可以建立一些其他的素数公式。以下的公式也没有什么实际价值，大多数的素性测试都比它远为有效。
我们定义
π
(
m
)
=
∑
j
=
2
m
sin
2
(
π
j
(
j
−
1
)
!
2
)
sin
2
(
π
j
)
{\displaystyle \pi (m)=\sum _{j=2}^{m}{\frac {\sin ^{2}({\pi \over j}(j-1)!^{2})}{\sin ^{2}({\pi \over j})}}}
或者
π
(
m
)
=
∑
j
=
2
m
[
(
j
−
1
)
!
+
1
j
−
[
(
j
−
1
)
!
j
]
]
.
{\displaystyle \pi (m)=\sum _{j=2}^{m}\left[{(j-1)!+1 \over j}-\left[{(j-1)! \over j}\right]\right].}
这两种定义是等价的。π（m）就是小于m的素数个数。于是，我们可以定义第n个素数如下：
p
n
=
1
+
∑
m
=
1
2
n
[
[
n
1
+
π
(
m
)
]
1
n
]
.
{\displaystyle p_{n}=1+\sum _{m=1}^{2^{n}}\left\lbrack \left\lbrack {n \over 1+\pi (m)}\right\rbrack ^{1 \over n}\right\rbrack .}
另一个用高斯函数的例子
编辑
这个例子没有用到阶乘和威尔逊定理，但也大量应用了高斯函数（S. M. Ruiz 2000）。首先定义：
π
(
k
)
=
k
−
1
+
∑
j
=
2
k
[
2
j
(
1
+
∑
s
=
1
[
j
]
(
[
j
−
1
s
]
−
[
j
s
]
)
)
]
{\displaystyle \pi (k)=k-1+\sum _{j=2}^{k}\left\lbrack {2 \over j}\left(1+\sum _{s=1}^{\left\lbrack {\sqrt {j}}\right\rbrack }\left(\left\lbrack {j-1 \over s}\right\rbrack -\left\lbrack {j \over s}\right\rbrack \right)\right)\right\rbrack }
然后就有第n个素数的表达式：
p
n
=
1
+
∑
k
=
1
2
(
[
n
ln
(
n
)
]
+
1
)
(
1
−
[
π
(
k
)
n
]
)
.
{\displaystyle p_{n}=1+\sum _{k=1}^{2(\lbrack n\ln(n)\rbrack +1)}\left(1-\left\lbrack {\pi (k) \over n}\right\rbrack \right).}